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- W1485751656 abstract "Le theoreme d'uniformisation de Poincare-Koebe permet d'affirmer que toute surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du demi-plan de Poincare par un groupe Fuchsien. D'un autre cote, une surface de Riemann est aussi une courbe algebrique complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours etre realisees comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros d'une equation polynomiale homogene a coefficients complexes $P(x,y,z)=0$. Dans cette these, on s'interesse au lien explicite entre ces deux descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des automorphismes non-triviaux. En genre 2, on s'interesse d'abords aux surfaces ayant une involution non-triviale. On decrit la correspondance entre les actions de deux groupes operant l'un sur les structures algebriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpreter en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les differents revetements ramifies au dessus de cinq points de $mathbb{P}^1(mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les equations de certains twists de Dehn. On fait une etude similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On etudie ensuite des familles speciales algebriques, definies par moins de parametres que l'espace ambiant (sans que cela corresponde necessairement a la presence d'automorphismes supplementaires). On s'interesse enfin a des familles reelles. On montre notamment que les differents groupes permettent d'exprimer des relations algebrico-geometriques entre surfaces ayant des types topologiques pour la partie reelle differents. En genre 3, nous etudions les relations entre les equations des quatre revetements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1, ramifies au dessus de quatre points donnes et montrons comment on peut aussi en decrire la structure hyperbolique dans le cas ou ils sont paves par deux hexagones hyperboliques droits." @default.
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