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• W1518440182 abstract "Cette these porte sur le polynome de Tutte, etudie selon differents points de vue. Dans une premiere partie, nous nous interessons a l’enumeration des cartes planaires munies d’une foret couvrante, ici appelees cartes forestieres, avec un poids z par face et un poids u par composante non racine de la foret. De maniere equivalente, nous comptons selon le nombre de faces les cartes planaires C ponderees par TC(u + 1; 1), ou TC designe le polynome de Tutte de C. Nous commencons par une caracterisation purement combinatoire de la serie generatrice correspondante, notee F(z; u). Nous en deduisons que F(z; u) est differentiellement algebrique en z, c’est-a-dire que F satisfait une equation differentielle polynomiale selon z. Enfin, pour u ≥ -1, nous etudions le comportement asymptotique du n-ieme coefficient de F(z; u). Nous observons une transition de phase en 0, avec notamment un regime tres atypique en n-3 ln-2(n) pour u ϵ [-1; 0[, temoignant d’une nouvelle classe d’universalite pour les cartes planaires. Dans une seconde partie, nous proposons un cadre unificateur pour les differentes notions d’activites utilisees dans la litterature pour decrire le polynome de Tutte.La nouvelle notion d’activite ainsi definie est appelee Δ-activite. Elle regroupe toutes les notions d’activite deja connues et presente de belles proprietes, comme celle de Crapo qui definit une partition (adaptee a l’activite) du treillis des sous-graphes couvrants en intervalles. Nous conjecturons en dernier lieu que toute activite qui decrit le polynome de Tutte et qui satisfait la propriete susmentionnee de Crapo peut etre definie en termes de Δ-activites." @default.
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