FRINK Linked Data Fragments server

Matches in SemOpenAlex for { <https://semopenalex.org/work/W1724288287> ?p ?o ?g. }

• W1724288287 endingPage "2516" @default.
• W1724288287 startingPage "2505" @default.
• W1724288287 abstract "Let <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=f> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a polynomial of degree <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=d> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with integer coefficients, <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=p> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> any prime, <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=m> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> any positive integer and <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper S left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>S(f,p^m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the exponential sum <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper S left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis equals sigma-summation Underscript x equals 1 Overscript p Superscript m Baseline Endscripts e Subscript p Sub Superscript m Baseline left-parenthesis f left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>S(f,p^m)= sum _{x=1}^{p^m} e_{p^m}(f(x))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We establish that if <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=f> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is nonconstant when read <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=left-parenthesis mod p right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mspace width=0.667em /> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width=0.333em /> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>pmod p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=StartAbsoluteValue upper S left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 4.41 p Superscript m left-parenthesis 1 minus StartFraction 1 Over d EndFraction right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>4.41</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>|S(f,p^m)|le 4.41 p^{m(1-frac 1d)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=t equals ord Subscript p Baseline left-parenthesis f prime right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext>ord</mml:mtext> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>t=text {ord}_p(f’)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, let <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=alpha> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a zero of the congruence <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=p Superscript negative t Baseline f prime left-parenthesis x right-parenthesis identical-to 0 left-parenthesis mod p right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width=0.667em /> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width=0.333em /> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>p^{-t}f’(x) equiv 0 pmod p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of multiplicity <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=nu> <mml:semantics> <mml:mi>ν<!-- ν --></mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>nu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and let <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper S Subscript alpha Baseline left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>S_alpha (f,p^m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the sum <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper S left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>S(f,p^m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=x> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> restricted to values congruent to <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=alpha left-parenthesis mod p Superscript m Baseline right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mspace width=0.667em /> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width=0.333em /> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>alpha pmod {p^m}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We obtain <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=StartAbsoluteValue upper S Subscript alpha Baseline left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to min left-brace right-brace comma nu comma 3.06 p Superscript StartFraction t Over nu plus 1 EndFraction Baseline p Superscript m left-parenthesis 1 minus StartFraction 1 Over nu plus 1 EndFraction right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mo movablelimits=true form=prefix>min</mml:mo> <mml:mo fence=false stretchy=false>{</mml:mo> <mml:mi>ν<!-- ν --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3.06</mml:mn> <mml:mo fence=false stretchy=false>}</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mfrac> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν<!-- ν --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>ν<!-- ν --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>|S_alpha (f,p^m)| le min {nu ,3.06} p^{frac t{nu +1}}p^{m(1-frac 1{nu +1})}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=p> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> odd, <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=m greater-than-or-equal-to t plus 2> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>m ge t+2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=d Subscript p Baseline left-parenthesis f right-parenthesis greater-than-or-equal-to 1> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>d_p(f)ge 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If, in addition, <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=p greater-than-or-equal-to left-parenthesis d minus 1 right-parenthesis Superscript left-parenthesis 2 d right-parenthesis slash left-parenthesis d minus 2 right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>p ge (d-1)^{(2d)/(d-2)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then we obtain the sharp upper bound <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=StartAbsoluteValue upper S Subscript alpha Baseline left-parenthesis f comma p Superscript m Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to p Superscript m left-parenthesis 1 minus StartFraction 1 Over nu plus 1 EndFraction right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mo stretchy=false>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>ν<!-- ν --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>|S_alpha (f,p^m)| le p^{m(1-frac 1{nu +1})}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>." @default.
• W1724288287 created "2016-06-24" @default.
• W1724288287 creator A5001319677 @default.
• W1724288287 date "2001-04-17" @default.
• W1724288287 modified "2023-10-03" @default.
• W1724288287 title "On upper bounds of Chalk and Hua for exponential sums" @default.
• W1724288287 cites W1505183389 @default.
• W1724288287 cites W1558428627 @default.
• W1724288287 cites W1568118684 @default.
• W1724288287 cites W1606364704 @default.
• W1724288287 cites W1988076222 @default.
• W1724288287 cites W2002760437 @default.
• W1724288287 cites W2011951166 @default.
• W1724288287 cites W2016111064 @default.
• W1724288287 cites W2058324165 @default.
• W1724288287 cites W2059946380 @default.
• W1724288287 cites W2071571899 @default.
• W1724288287 cites W2087735481 @default.
• W1724288287 cites W2104428487 @default.
• W1724288287 cites W2132684431 @default.
• W1724288287 cites W2157499316 @default.
• W1724288287 cites W2329964106 @default.
• W1724288287 cites W2413778517 @default.
• W1724288287 cites W249233303 @default.
• W1724288287 cites W4239449600 @default.
• W1724288287 cites W4248052315 @default.
• W1724288287 cites W4251129402 @default.
• W1724288287 cites W608279542 @default.
• W1724288287 doi "https://doi.org/10.1090/s0002-9939-01-06189-5" @default.
• W1724288287 hasPublicationYear "2001" @default.
• W1724288287 type Work @default.
• W1724288287 sameAs 1724288287 @default.
• W1724288287 citedByCount "12" @default.
• W1724288287 countsByYear W17242882872012 @default.
• W1724288287 countsByYear W17242882872015 @default.
• W1724288287 countsByYear W17242882872018 @default.
• W1724288287 countsByYear W17242882872020 @default.
• W1724288287 crossrefType "journal-article" @default.
• W1724288287 hasAuthorship W1724288287A5001319677 @default.
• W1724288287 hasBestOaLocation W17242882871 @default.
• W1724288287 hasConcept C114614502 @default.
• W1724288287 hasConcept C134306372 @default.
• W1724288287 hasConcept C151376022 @default.
• W1724288287 hasConcept C33923547 @default.
• W1724288287 hasConceptScore W1724288287C114614502 @default.
• W1724288287 hasConceptScore W1724288287C134306372 @default.
• W1724288287 hasConceptScore W1724288287C151376022 @default.
• W1724288287 hasConceptScore W1724288287C33923547 @default.
• W1724288287 hasIssue "9" @default.
• W1724288287 hasLocation W17242882871 @default.
• W1724288287 hasOpenAccess W1724288287 @default.
• W1724288287 hasPrimaryLocation W17242882871 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W1968814555 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W1978042415 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W1979597421 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2064885017 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2071754992 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2074005682 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2152192294 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2314643997 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W2377225870 @default.
• W1724288287 hasRelatedWork W3128514093 @default.
• W1724288287 hasVolume "129" @default.
• W1724288287 isParatext "false" @default.
• W1724288287 isRetracted "false" @default.
• W1724288287 magId "1724288287" @default.
• W1724288287 workType "article" @default.