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• W1847339310 abstract "The main issue of this dissertation is the question whether periodic orbits of a delay differential equation still existif a state-dependent delay is assumed instead of a constant one. Motivated by a mathematical model to describe short term fluctuations of exchange rates, a one-parameter family of scalar delay differential equations is studied, where the positive parameter involved represents a kind of sensitivity to price changes. In the case of a constant delay, this family of equations was analyzed in different works in the last years, and so it is well known that at a certain critical parameter the single non-hyperbolic equilibrium solution loses its stability and is connected to a periodic orbit by a global center-unstable manifold. Consequently, one may ask whether this is still true in the situation of a state-dependent delay.To address the above problem, the first part of this thesis is devoted to the discussion of a class of functional differential equations that was recently developed to study differential equations with a state-dependent delay. Besides a brief summary of some well-known facts, we establish the so-called principle of linearized instability and construct local center-unstable manifolds at stationary points for this class of functional differential equations. Additionally, we prove the continuous differentiability of the constructed manifolds.The study of the introduced one-parameter family of delay differential equations with a state-dependent delay is the main goal of the second part of this work. Analyzing the structure of solutions and particularly their local behavior at the single equilibrium solution, we finally generalize the result on existence of periodic solutions in the situation of constant delay and prove that, under certain conditions on the delay function and for parameter values above a critical one, a global two-dimensional center-unstable manifold connects the equilibrium to a periodic orbit. Das Hauptanliegen der vorliegenden Dissertation ist die Klarung der Frage, ob eine spezielle verzogerte Differentialgleichung noch immer periodische Orbits aufweist, wenn die involvierte Verzogerung nicht mehr als konstant, sondern als zustandsabhangig angenommen wird. In der Arbeit wird eine 1-parametrige Familie von skalaren verzogerten Differentialgleichungen, die ein mathematischen Modell zur Beschreibung von kurzfristigen Schwankung von Wechselkursen reprasentiert, studiert. Hierbei stellt der auftretende Parameter eine Art von Sensitivitat dar, mit der auf die Anderung von Kursen reagiert wird. Im Fall einer konstanten Verzogerung wurde diese Familie von Differentialgleichungen in den letzten Jahren sehr ausgiebig studiert und dabei insbesondere analytisch bewiesen, dass ab einem gewissen kritischen Parameterwert das einzige auftretende Equilibrium, das zudem nicht-hyperbolisch ist, seine Stabilitat verliert und stattdessen durch Trajektorien in einer globalen zentral-instabilen Mannigfaltigkeit mit einer periodischen Losung verbunden wird. Folglich stellt sich die Frage, ob dieses Szenario auch im Falle einer zustandsabhangigen Verzogerung auftritt.Zur Erorterung der oben beschriebenen Fragestellung beschaftigt sich der erste Teil der vorliegenden Dissertation mit einer speziellen Klasse von Funktionaldifferentialgleichungen, die in den letzten Jahren fur die analytische Untersuchung von Differentialgleichung mit zustandsabhangiger Verzogerung entwickelt worden ist. Neben einem kurzen Uberblick uber einige bekannte Sachverhalte wird hier auch das sogenannte Prinzip der linearisierten Instabilitat und die Existenzvon lokalen zentral-instabilen Mannigfaltigkeiten an stationaren Punkten fur diese Klasse von Funktionaldifferentialgleichungen bewiesen. Zusatzlich wird die C^{1}-Glattheit dieser Mannigfaltigkeiten gezeigt.Der zweite Teil der Arbeit ist dann der Untersuchung der eingefuhrten 1-parametrigen Familie von Differentialgleichungen mit zustandsabhangiger Verzogerung gewidmet. Durch das Studium der Struktur von Losungen und vor allem deren lokalen Verhalten an dem einzigen auftretenden Equilibrium wird letztlich das Resultat uber die Existenz von periodischen Orbits in der Situation der konstanten Verzogerung verallgemeinert und bewiesen, dass unter bestimmten Voraussetzungen an die Verzogerungsfunktion und im Falle eines uber einem kritischen Wert liegenden Parameters eine globale zweidimensionale zentral-instabile Mannigfaltigkeit das Equilibrium mit einem periodischen Orbit verbindet." @default.
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