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• W1856910438 abstract "Eine Vielzahl von Anwendungen in der numerischen Simulation der Stromungsdynamik und der Festkorpermechanik begrunden die Entwicklung von zuverlassigen und effizienten Algorithmen fur nicht-standard Methoden der Finite-Elemente-Methode (FEM). Um Freiheitsgrade zu sparen, wird in jedem Durchlauf des adaptiven Algorithmus lediglich ein Teil der Gebiete verfeinert. Einige Gebiete bleiben daher moglicherweise verhaltnismasig grob. Die Analyse der Konvergenz und vor allem die der Optimalitat benotigt daher uber die a priori Fehleranalyse hinausgehende Argumente. Etablierte adaptive Algorithmen beruhen auf collective marking, d.h. die zu verfeinernden Gebiete werden auf Basis eines Gesamtfehlerschatzers markiert. Bei adaptiven Algorithmen mit separate marking wird der Gesamtfehlerschatzer in einen Volumenterm und in einen Fehlerschatzerterm aufgespalten. Da der Volumenterm unabhangig von der diskreten Losung ist, kann einer schlechten Datenapproximation durch eine lokal tiefe Verfeinerung begegnet werden. Bei hinreichender Datenapproximation wird das Gitter dagegen bezuglich des neuen Fehlerschatzerterms wie ublich level-orientiert verfeinert. Die numerischen Experimente dieser Arbeit liefern deutliche Indizien der quasi-optimalen Konvergenz fur den in dieser Arbeit untersuchten adaptiven Algorithmus, der auf separate marking beruht. Der Parameter, der die Verbesserung der Datenapproximation sicherstellt, ist frei wahlbar. Dadurch ist es erstmals moglich, eine ausreichende und gleichzeitig optimale Approximation der Daten innerhalb weniger Durchlaufe zu erzwingen. Diese Arbeit ermoglicht es, Standardargumente auch fur die Konvergenzanalyse von Algorithmen mit separate marking zu verwenden. Dadurch gelingt es Quasi-Optimalitat des vorgestellten Algorithmus gemas einer generellen Vorgehensweise fur die drei Beispiele, dem Poisson Modellproblem, dem reinen Verschiebungsproblem der linearen Elastizitat und dem Stokes Problem, zu zeigen.%%%%Various applications in computational fluid dynamics and solid mechanics motivate the development of reliable and efficient adaptive algorithms for nonstandard finite element methods (FEMs). To reduce the number of degrees of freedom, in adaptive algorithms only a selection of finite element domains is marked for refinement on each level. Since some element domains may stay relatively coarse, even the analysis of convergence and more importantly the analysis of optimality require new arguments beyond an a priori error analysis. In adaptive algorithms, based on collective marking, a (total) error estimator is used as refinement indicator. For separate marking strategies, the (total) error estimator is split into a volume term and an error estimator term, which estimates the error. Since the volume term is independent of the discrete solution, if there is a poor data approximation the improvement may be realised by a possibly high degree of local mesh refinement. Otherwise, a standard level-oriented mesh refinement based on an error estimator term is performed. This…" @default.
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