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• W1909334692 abstract "Unter der Hermite--Normalform (abgekurzt HNF) einer ganzzahligen Matrix A versteht man (vereinfacht dargestellt) eine zu A aquivalente obere Dreiecksmatrix H, bei der die Eintrage oberhalb der Diagonalen modulo dem zugehorigen Diagonalelement reduziert sind, d.h. betragsmasig zwischen Null und dem jeweiligen Diagonalelement liegen. Eine Matrix A ist zur einer Matrix H genau dann aquivalent, wenn eine ganzzahlige, unimodulare Matrix T existiert, so das gilt A x T = H. Wahrend der letzten Jahre wurden eine Vielzahl von Algorithmen zur Berechnung der HNF entwickelt, angefangen bei den Algorithmen von Charles Hermite bis hin zu den Algorithmen von George Havas. In der Praxis wird man bei der Berechnung der HNF von grosen, ganzzahligen Matrizen auf einer speziellen, festgelegten Maschine mit dem Problem konfrontiert, das wahrend der Durchfuhrung der Berechnung zunachst die Eintragsdichte, d.h. der prozentuale Anteil der von Null verschiedenen Elemente unter den Eintragen, und dann die Eintragsgrose der entstehenden Zwischeneintrage in unkontrollierter Art und Weise anwachsen. Dies fuhrt zu einem hohen Speicherplatzverbrauch und mundet schlieslich im Abbruch der Berechnung. Um diesem Phanomen zu begegnen, wurden vorrangig fur dichtbesetzte Matrizen eine Vielzahl von optimierten Algorithmen entwickelt. Fur die Matrizen, die im Kontext der Klassengruppenberechnung entstehen, reichen diese Optimierungen nicht aus, d.h. es ist nicht moglich, auf der uns zur Verfugung stehenden Hardware die HNF dieser Matrizen zu berechnen. Vor dem Hintergrund dieser Problemstellung ist die vorliegende Arbeit entstanden. Die Idee dieser Arbeit basiert auf der Beobachtung, das sich unterschiedliche ``einfache'' (aus der Literatur bekannte) HNF--Algorithmen angewendet auf die gleiche Eingabematrix in Bezug auf ihr Laufzeitverhalten, d.h. die Entwicklung des Speicherplatzverbrauchs, die Entwicklung der Eintragsdichte, die Entwicklung der Eintragsgrose u.a., unterschiedlich verhalten. Wenn also nicht ein einzelner der ``einfachen'' HNF--Algorithmen in der Lage ist, die HNF einer dunnbesetzen, ganzzahligen Matrix unter Berucksichtigung der zur Verfugung stehenden Hardwareressourcen zu berechnen, dann konnte es einer geeigneten Kombination dieser Algorithmen gelingen. Eine solche Kombination ``einfacher'' HNF--Algorithmen wird im Rahmen dieser Arbeit als Hybrid--HNF—Algorithmus bezeichnet und arbeitet prinzipiell gemas der folgenden Vorgehensweise: Die HNF--Berechnung startet mit einem ``einfachen'' HNF--Algorithmus, der aufgrund der aktuellen Kennwerte der Eingabematrix, d.h. der Eintragsdichte, der Eintragsverteilung, der Eintragsgrose u.a., als geeignet erachtet wird. Wahrend der Durchfuhrung der Berechnung werden die Veranderungen der Kennwerte der (Zwischen-)Matrix protokolliert. Zu dem Zeitpunkt, zu dem ein anderer ``einfacher'' HNF--Algorithmus aufgrund der veranderten Situation besser geeignet ist, als der bisher verwendete HNF--Algorithmus, past man die Verarbeitungsstrategie den veranderten Bedingungen an. Dazu beendet man die Berechnung mit dem aktuellen ``einfachen'' HNF--Algorithmus und fuhrt die Berechnung auf der zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Zwischenmatrix mit dem neuen, besser geeigneten HNF--Algorithmus fort. Die Untersuchung dieser Idee und ihre Umsetzung ist Gegenstand dieser Arbeit. Um ``einfache'' HNF--Algorithmen zu Hybrid--HNF-Algorithmen kombinieren zu konnen, wurde ein geeignetes C++ Framework entwickelt. Grundlage dieses Frameworks ist zum einen eine Systematik der bekannten ``einfachen'' HNF--Algorithmen und zum anderen ein geeignetes C++ Klassendesign zur Realisierung von Matrixoperationen. Ein weiterer Bestandteil dieser Arbeit ist eine Arbeitsanweisung, die veranschaulicht, wie das C++ Framework auf eine spezielle Problemstellung hin anzuwenden ist. Dabei wird dargelegt, welche Uberlegungen und Schritte notwendig sind, um einen angemessenen Hybrid--HNF--Algorithmus zu konstruieren. Zum Abschlus dieser Arbeit wird die Leistungsfahigkeit des Frameworks und damit der zugrundeliegenden Idee anhand von Hybrid--HNF--Algorithmen illustriert, die fur Matrizen, die im speziellen Umfeld der Klassengruppenberechnung entstehen, und fur eine vorgegebene Hardware entwickelt wurden. Umfangreiche Laufzeittabellen illustrieren die Effizienz und somit die Leistungsfahigkeit. Die aktuellen Rekorde im Bereich der Klassengruppen wurden mit Hilfe der in dieser Arbeit entwickleten Hybrid--HNF--Algorithmen berechnet." @default.
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