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• W1990149087 abstract "Mannigfaltigkeiten sind topologische Raume, die lokal eine sehr einfache Struktur haben: ihre lokale Struktur ist die des n-dimensionalen Raums R. Das Studium und die Klassifikation von Mannigfaltigkeiten ist ein zentrales Anliegen der Topologie. Die von Browder, Novikov, Sullivan, Wall und vielen anderen entwickelte Chirurgietheorie erlaubt es, viele Klassifikationsfragen auf algebraische Probleme zuruckzufuhren. Beispielsweise hat Freedman gezeigt, dass eine gewisse Klasse von 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten im Wesentlichen durch ihre Schnittform (bis auf Homoomorphismus) klassifiziert sind. Die Schnittform ist eine unimodulare symmetrische bilineare Form uber dem Ring der ganzen Zahlen. Wichtig fur dieses Resultat ist, dass die betrachteten Mannigfaltigkeiten einfach-zusammenhangend sind. Informell gesprochen bedeutet dies, dass bis auf stetige Deformation (Homotopie) alle geschlossenen Kurven in der Mannigfaltigkeit trivial sind. Im Allgemeinen ist dies nicht richtig: die Homotopieklassen geschlossener Kurven bilden eine Gruppe, die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit. Wahrend das Studium einfach-zusammenhangender Mannigfaltigkeiten zu Algebra uber dem Ring der ganzen Zahlen (wie beispielsweise der soeben erwahnten Schnittform) fuhrt, muss man bei der Untersuchung von Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe G uber dem ganzzahligen Gruppenring Z[G] arbeiten. Algebraisch verhalt sich der Gruppenring Z[G] viel schlechter als der Ring der ganzen Zahlen, er ist beispielsweise im Allgemeinen weder kommutativ noch noethersch. Von besonderer Bedeutung fur die Klassifikation von Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe G und die Anwendung der Chirurgietheorie auf dieses Problem ist die algebraische Kund L-Theorie des Gruppenrings Z[G]. Diese sind Familien von abelschen Gruppen (Kn(Z[G]))n∈Z und (Ln(Z[G]))n∈Z, die Ringen (in diesem Fall dem Gruppenring) naturlich zugeordnet werden. Diese lassen sich erstaunlicherweise in vielen Fallen noch relativ explizit berechnen. Dabei spielen nun meist nicht algebraische Eigenschaften der Gruppe oder des Gruppenrings die Hauptrolle, sondern geometrische Eigenschaften der Gruppe. Eine interessante und grose Klasse von Mannigfaltigkeiten sind die aspharischen Mannigfaltigkeiten. Eine wichtige Vermutung der Topologie, die Borel-Vermutung, sagt vorher, dass aspharische Mannigfaltigkeiten durch ihre Fundamentalgruppe klassifiziert werden. (Genauer besagt die Vermutung, dass diese Mannigfaltigkeiten topologisch starr sind.) Am Beispiel dieser Vermutung wird der Zusammenhang zwischen algebraischer Kund L-Theorie und der Klassifikation von Mannigfaltigkeiten besonders deutlich. Es gibt eine Vermutung von Farrell und Jones zur Struktur der algebraischen Kund L-Theorie von Gruppenringen, die die BorelVermutung (fur aspharische Mannigfaltigkeiten von Dimension mindestens 5) impliziert. Daruberhinaus steht diese Vermutung in Verbindung mit einfach formulierbaren algebraischen Fragen uber die Struktur von Gruppenringen, wie zum Beispiel der Kaplansky-Vermutung. Dieser Artikel gibt eine informelle Einfuhrung zu den erwahnten Begriffen. Es werden die genannten Vermutungen und den Verbindungen zwischen ihnen diskutiert." @default.
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