SemOpenAlex |

SemOpenAlex

Matches in SemOpenAlex for { <https://semopenalex.org/work/W2003129413> ?p ?o ?g. }

Showing items 1 to 68 of 68 with 100 items per page.

W2003129413 endingPage "430" @default.
W2003129413 startingPage "419" @default.
W2003129413 abstract "Given a continuous, increasing function <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=phi colon left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis right-arrow left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy=false>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant=normal>∞</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo stretchy=false>→</mml:mo> <mml:mo stretchy=false>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant=normal>∞</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>phi :[0,infty ) to [0,infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=phi left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 0> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>phi (0) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we define the Hausdorff <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=phi> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-measure of a bounded set <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the unit interval <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper I equals left-bracket 0 comma 1 right-bracket> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy=false>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy=false>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>I = [0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper H Subscript phi Baseline left-parenthesis upper E right-parenthesis equals limit Underscript delta right-arrow 0 Endscripts upper H Subscript phi Baseline comma Subscript delta Baseline left-parenthesis upper E right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:munder> <mml:mo movablelimits=true form=prefix>lim</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{H_phi }(E) = {lim _{delta to 0}}{H_phi }{,_delta }(E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper H Subscript phi Baseline comma Subscript delta Baseline upper E equals inf sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript normal infinity Endscripts phi left-parenthesis t Subscript i Baseline right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo movablelimits=true form=prefix>inf</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits=false>∑</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant=normal>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{H_phi }{,_delta }E = inf sum nolimits _{i = 1}^infty {phi ({t_i})}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the infimum is taken over all countable covers of <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by intervals <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper U Subscript i> <mml:semantics> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{U_i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=t Subscript i Baseline equals StartAbsoluteValue upper U Subscript i Baseline EndAbsoluteValue equals> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{t_i} = left | {{U_i}} right | =</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> length of <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper U Subscript i Baseline greater-than delta> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{U_i} > delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show that given any such <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=phi> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, there exist closed, nowhere dense sets <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E 1 comma upper E 2 subset-of upper I> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_1},{E_2} subset I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper H Subscript phi Baseline left-parenthesis upper E 1 right-parenthesis equals upper H Subscript phi Baseline left-parenthesis upper E 2 right-parenthesis equals 0> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{H_phi }({E_1}) = {H_phi }({E_2}) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E 1 plus upper E 2 identical-to left-brace a plus b colon a element-of upper E 1 comma b element-of upper E 2 right-brace equals upper I> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_1} + {E_2} equiv left { {a + b:a in {E_1},b in {E_2}} right } = I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The sets <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E Subscript i Baseline left-parenthesis i equals 1 comma 2 right-parenthesis> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy=false>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy=false>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_i}(i = 1,2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are constructed as Cantor-type sets <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E Subscript i Baseline equals intersection Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts upper E Subscript i comma n> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits=false>⋂</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant=normal>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_i} = bigcap nolimits _{n = 1}^infty {{E_{i,n}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E Subscript i comma n> <mml:semantics> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_{i,n}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite union of disjoint closed intervals. In addition, we give a simple geometric proof that the natural probability measures <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=mu Subscript i> <mml:semantics> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{mu _i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> supported on <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E Subscript i> <mml:semantics> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which arise as weak limits of normalized Lebesgue measure on <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper E Subscript i comma n> <mml:semantics> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{E_{i,n}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have the property that the convolution <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=mu 1 asterisk mu 2> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow class=MJX-TeXAtom-ORD> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding=application/x-tex>{mu _1}*{mu _2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Lebesgue measure on <inline-formula content-type=math/mathml> <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML alttext=upper I> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding=application/x-tex>I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>." @default.
W2003129413 created "2016-06-24" @default.
W2003129413 creator A5041000486 @default.
W2003129413 creator A5051675680 @default.
W2003129413 creator A5074743214 @default.
W2003129413 creator A5081252109 @default.
W2003129413 date "1988-01-01" @default.
W2003129413 modified "2023-09-26" @default.
W2003129413 title "Factorizations of Lebesgue measure via convolutions" @default.
W2003129413 cites W143797909 @default.
W2003129413 cites W4210402829 @default.
W2003129413 cites W998987007 @default.
W2003129413 doi "https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1988-0962808-8" @default.
W2003129413 hasPublicationYear "1988" @default.
W2003129413 type Work @default.
W2003129413 sameAs 2003129413 @default.
W2003129413 citedByCount "4" @default.
W2003129413 countsByYear W20031294132013 @default.
W2003129413 countsByYear W20031294132015 @default.
W2003129413 crossrefType "journal-article" @default.
W2003129413 hasAuthorship W2003129413A5041000486 @default.
W2003129413 hasAuthorship W2003129413A5051675680 @default.
W2003129413 hasAuthorship W2003129413A5074743214 @default.
W2003129413 hasAuthorship W2003129413A5081252109 @default.
W2003129413 hasBestOaLocation W20031294131 @default.
W2003129413 hasConcept C124101348 @default.
W2003129413 hasConcept C14158598 @default.
W2003129413 hasConcept C191832335 @default.
W2003129413 hasConcept C202444582 @default.
W2003129413 hasConcept C2777105136 @default.
W2003129413 hasConcept C2780009758 @default.
W2003129413 hasConcept C33923547 @default.
W2003129413 hasConcept C41008148 @default.
W2003129413 hasConcept C41833934 @default.
W2003129413 hasConcept C43323394 @default.
W2003129413 hasConcept C43929395 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C124101348 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C14158598 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C191832335 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C202444582 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C2777105136 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C2780009758 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C33923547 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C41008148 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C41833934 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C43323394 @default.
W2003129413 hasConceptScore W2003129413C43929395 @default.
W2003129413 hasIssue "2" @default.
W2003129413 hasLocation W20031294131 @default.
W2003129413 hasOpenAccess W2003129413 @default.
W2003129413 hasPrimaryLocation W20031294131 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W2383732840 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W2487656881 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W2593448809 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W3093290329 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W3100501333 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W3108724078 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W4240143482 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W4310845865 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W4312314844 @default.
W2003129413 hasRelatedWork W4364383207 @default.
W2003129413 hasVolume "104" @default.
W2003129413 isParatext "false" @default.
W2003129413 isRetracted "false" @default.
W2003129413 magId "2003129413" @default.
W2003129413 workType "article" @default.