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• W2006003713 abstract "Considered here are detailed aspects of solitary-wave solutions of nonlinear evolution equations including the Euler equations for the propagation of gravity waves on the surface of an ideal, incompressible, inviscid fluid. Two properties will occupy our attention. The first, described already in an earlier paper, concerns the regularity of these travelling waves. In the context of certain classes of model equations for long waves in nonlinear dispersive media, we showed that solitary waves are obtained as the restriction to the real axis of functions analytic in a strip of the form {z : −a < s(z) < a} in the complex plane. In this direction, the scope of our previous discussion of model equations is broadened considerably. Moreover, it is also shown that solitary-wave solutions of the full Euler equations have the properties that the free surface is given by the restriction to the real axis of a function analytic in a strip in the complex plane and the velocity potential is the restriction to the flow domain of a function that is analytic in an open set in complex 2-space C2. The second issue considered is the asymptotic decay of solitary waves to a quiescent state away from their principal elevation. A theorem pertaining to the evanescence of solutions of certain types of one-dimensional convolution equations is formulated and proved, showing that decay is related to the smoothness of the Fourier transform of the convolution kernel k, as well as the nonlinearity present in the equation. It is demonstrated that if the Fourier transform k/_^ ϵ Hs for some s > 12, the rate of decay of a solution is at least as fast as that of the kernel k itself. This result is used to establish asymptotic properties of solitary-wave solutions of a broad class of model equations, and of solitary-wave solutions of the full Euler equations. Sont traités, dans cet article, quelques aspects détaillés des ondes solitaires solutions d'équations d'évolutions non linéaires, incluant les équations d'Euler pour la propagation des ondes gravitationnelles à la surface d'un fluide idéal, incompressible et non visqueux. Deux propriétés ont attiré notre attention. La première, déjà décrite dans un article antérieur concerne la régularité de ces ondes de translations. Dans le cadre de certaines classes d'équations modélisant les ondes longues dans un milieu non linéaire et dispersif, nous avons montré que les ondes solitaires s'obtiennent comme la restriction à l'axe réel de fonctions analytiques dans une bande de la forme {z : −a < s(z) < a} du plan complexe. Dans cette perspective, l'étendue de notre précédente discussion sur les équations modèles est considérablement élargie. En outre, il est aussi montré que les ondes solitaires solutions des équations d'Euler complètes ont les propriétés que la surface libre est donnée par la restriction à l'axe réel d'une fonction analytique dans une bande du plan complexe et que le potentiel des vitesses est la restriction au domaine du fluide d'une fonction analytique dans un ouvert d'un espace à deux dimensions sur C2. La seconde propriété considérée est la décroissance asymptotique des ondes solitaires vers un état au repos éloigné de leur maximum principal. Un théorème concernant l'évanescence des solutions de certains types d'équations de convolution unidimensionnelles est énoncé et prouvé, montrant que la décroissance est liée à la régularité de la transformée de Fourier du noyau k de convolution ainsi qu'à la non linéarité de l'équation. Il est démontré que si la transformée de Fourier k/_^ appartient àHs pour s > 12, le taux de décroissance de la solution est au moins aussi rapide que celui du noyau. Le résultat est utilisé pour établir des propriétés asymptotiques des ondes solitaires solutions d'une large classe d'équations modéles, et en particulier pour les ondes solitaires solutions des équations d'Euler complètes." @default.
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