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• W2012129632 abstract "As shown by the senior author, the proper formulation of free convection boundary-layer theory depends on order of magnitude of the Eckert number defined as Ec = Hg/cpΔT, the conventional theory being valid in the limit Ec → 0. The present paper investigates the solutions of the laminar on flat plate problem, over the entire Ec-range, for the case in which similarity prevails. It is shown that for Ec ≡ O(1) the similar solutions are attainable for linearly varying wall temperature (in particular constant) whereas in the limit for Ec → ∞ any wall temperature distribution leads to similar solutions. Similar profiles for Ec ≡ O(1) depend on the Prandtl number and on the ratio (Ec/β′) where β′ is the constant wall temperature gradient. Similar profiles for Ec → ∞ are universal insofar as they do not depend on any parameter. Universal profiles are given in closed form. Numerical solutions for Pr = 0.72 and several values of (Ec/β′) are presented and analysed in terms of velocity and temperature profiles, wall shear stress and Nusselt number. In particular the paper shows that the results of conventional theory cannot be used for β′ smaller than (0.05–0.1) Ec. Comme l'a montré le premier auteur, la formulation exacte de la théorie de la couche limite en convection naturelle dépend de l'ordre de grandeur du nombre d'Eckert défini par Ec = Hg/CpΔT, la théorie conventionnelle étant valable á la limite Ec → O. Le présent article examine les solutions du problème de la plaque plane laminaire, sur tout le domaine de variation de Ec, dans le cas où existe une similitude. On montre que pour Ec ≡ O(1) les solutions en similitude sont obtenues pour une température de paroi variant linéairement (en particulier pour une température constante) tandis qu'à la limite Ec → ∞ toute distribution de température pariétale conduit à des solutions en similitude. Les profils en similitude pour Ec ≡ O(1) dépendent du nombre de Prandtl et du rapport Ec/β′) où β′ est le gradient constant de température à la paroi. Les profils en similitude pour Ec → ∞ sont universels en ce sens qu'il ne dépendent d'aucun paramètre. Les profils universels sont complètement déterminés. Des solutions numériques pour Pr = 0,72 et plusieurs valeurs de (Ec/β′) sont présentées et analysées en termes de profils de vitesse et de température, de tension de cisaillement pariétal et du nombre de Nusselt. L'article montre en particulier que les résultats de la théorie classique ne peuvent être utilisés pour β′ inférieur à (0,05−0,1)Ec. Wie von den Autoren früher gezeigt worden ist, hängt die geeignete Formulierung der Grenzschichttheorie für die freie Konvektion von der Größenordnung der Eckert-Zahl Ec = Hg/cpΔT ab, wobei die konventionelle Theorie für den Grenzfall Ec → 0 gültig ist. Die vorliegende Arbeit untersucht unter Voraussetzung der Ähnlichkeit die Lösungen des laminaren Problems der ebenen Platte über den gesamten Bereich der Ec-Zahlen. Es wird gezeigt, daß für Ec = 0(1) Ähnlichkeitslösungen für linear veränderliche Wandtemperaturen (im speziellen konstante Wandtemperaturen) möglich sind, während, für Ec → ∞ jede Wandtemperaturverteilung zu Ähnlichkeitslösungen führt. Ähnliche Profile für Ec = 0(1) hängen von der Prandtl-Zahl und dem Verhältnis (Ec/β′) ab, wobei β′ der konstante Gradient der Wandtemperatur ist. Ähnliche Profile für Ec → ∞ sind insofern universell, als sie nicht von anderen Parametern abhängen. Universelle Profile werden in geschlossener Form angegeben. Für Pr = 0,72 und mehrere Werte von (Ec/β′) werden numerische Lösungen angegeben und anhand von Geschwindigkeits- und Températurprofilen, von Wandschubspannungen und Nusselt-Zahlen analysiert. Insbesondere wird gezeigt, daß die Ergebnisse der konvektionellen Theorie für β′-Werte kleiner als (0,05 bis 0,1). Ec nicht verwendet werden können. Кaк пoкaзaнo пepвым, aвтopoм, пpaвильнqя фopмyлиpoвкa тepии пoгpaничнoгo cлoя пpи cвoбoднoй кoнвeкции зaвиcит oт пopядкa чиcлa Эккepтa, oпpeдeляeмoгo кaк Ec = Hg/cpΔT, пpичeм oбЩeпpичятaя тeopия являeтcя cпpaвeдливoь в пpeдeлe Ec → 0. B нacтoящeй cтaтьe paccмaтpивaюcя пpeимyщecтвeннo aвтoмoдeльныe peщeния зaдaчи o лaминapнoм oбтeкaнии плocкoй плacтины дпя шиpoкoгo диaпaзoнa измeнeния чиcлa Ec. Пoкaзaнo, чтo пpи Ec = 0(1) aвтoмoдeльныe мoжнo пoлычить для линeйнo измeняющйcя тeмпepaтypы cтeнки (в чacтнocти, пocтoяннoй), в тo вpeмя кaк пpи Ec → ∞ любoe pacпpeдeлeниe тeмпepaтypы cтeнки пpивoдит к aбтoмoдeльным peщeниям. Aвтoмoдeльныe пpoфили пpи Ec ≡ 0(1) зaвиcят oт зиaчeния чиcлa Пpaндтля и oтнoщeния (Ec/β′), гдe β′ — пocтoянный гpaдиeнт тeмпepaтypы cтeнки. Aвтoмoдeльныe пpoфили пpи Ec → ∞ yнивepcaльны, тaк кaк нe зaвиcят ни oт oднoгo из пapaмeтpoв. Унивepcaльныe пpoфили дaны в зaмкнyтoм видe. Пpeдcтaвлeны чиcлeнныe peшeния для cлyчaя Pr = 0,72 и нecкoлькич знaчeний (Ec/β′), a тaкжe ич aнaлиз c пoмoщью пpoфилeй cкopocти и тemпepaтypы, кacaтeльнoгo нaпяжeния нa cтeнкe и чиcлa Hycceльтa. B cтaтьe, в чacтнocти, пoкaзaнo, чтo клaccичecкaя тeopия нeпpиeмeлeмa пpи знaчeнияч β′ нижe (0,05 ÷ 0,1)Ec." @default.
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