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• W2058737669 abstract "Geometric modelling is needed in mechanical engineering to calculate the geometry of worm gears, threads, and similar mechanical elements that can be described by helicoids or surfaces of revolution, and that are to be manufactured by milling, grinding, or whirling. In the past, the tasks of calculating surfaces of revolution (representing a form cutter or grinding wheel) for milling a given helicoid (representing a worm gear), and calculating the enveloped helicoid for a given surface of revolution were solved separately. Here it will be shown that the two results can be achieved by a more general approach. Furthermore, in this paper we consider not only the computation of points of interesting curves of enveloped helicoids but also the computation of tangent lines and osculating circles of such curves. Therefore, some results of differential geometry of helicoids are provided. At first, we calculate the normal curvature of an arbitrary plane section through a helicoid that is defined by an arbitrary generating curve. Then this result is specialised to transverse and axial sections. Furthermore, it is shown that the classification of points of the helicoid as elliptic, parabolic, or hyperbolic can be based on a constructive criterion in the transverse section plane. Finally, the example of an elliptical helicoid and its envelope is used to illustrate the theory. Getriebeschnecken, Gewinde und Zahnräder sowie die Fräs-, Schleif- und Wirbelwerkzeuge zu ihrer Herstellung können durch Abschnitte von Schraub- und Drehflächen mathematische beschrieben werden. Die Berechnung der Drehftäche (Formfräser oder-schleifscheibe) zur Herstellung einer vorgegebenen Schraubfläche (Schneckenflanke) bzw. umgekehrt die Berechnung der hergestellten Schraubfläche zu einer gegebenen Drehfläche sind bisher als getrennte Aufgaben gelöst werden. Der Artikel stellt die beiden Lösungen als Spezialfälle eines allgemeinen Lösungsansatzes vor. Darüber hinaus werden dabei auftretende ebene Schnittkurven eingehüllter Schraubflächen einschlieβlich ihrer Kurventangenten und Krümmungskreise berechnet. Um these Ergebnisse zu erzielen, müssen differentialgeometrische Grundlagen für Schraubflächen aufbereitet werden. Es wird dargestellt, wie das Krümmungselement in einem Punkt einer beliebigen ebenen Schnittkurve einer Schraubfläche berechnet werden kann, wenn die Schraubfläche durch eine beliebige erzeugende Kurve definiert ist. Das Resultat wird dann auf den Stirn- und Achsschnitt spezialisiert. Weiter wird im Stirnschnitt einer Schraubflache eine einfache Konstruktion vorgestellt, die es gestattet, die Schraubflächenpunkte in elliptische, parabolische oder hyperbolische zu klassifizieren." @default.
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