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• W2073157225 abstract "This article provides a detailed discussion of Otto Hölder's ideas on the foundations of mathematics. It focuses on a paper he published in 1892 written in reaction to a book published in 1891 by Robert Graßmann, which Hölder saw as an attempt to axiomatize arithmetic. Hölder's paper is important for at least three reasons: First, it represents what might be called Hölder's research manifesto on the foundations of mathematics, containing a wealth of ideas which Hölder gradually developed in a variety of publications until the end of his life. Second, Hölder's analysis of R. Graßmann's foundational ideas provides an important assessment of the contribution of Hermann and Robert Graßmann to the axiomatization of arithmetic, a contribution which, though often mentioned, is itself still not widely acknowledged and not fully understood. Third, the effort of exposing the weak spots in R. Graßmann's ideas led Hölder to formulate the main problems confronting formal axiomatics: independence of the axioms, consistency, completeness, and the issue of the relationship between pure mathematics and its applications. The first part of this paper presents R. Graßmann's ideas on the foundations of mathematics as outlined in two closely related works published in 1872 and 1891. The second part focuses on Hölder's analysis of these ideas. Dieser Beitrag liefert eine detaillierte Diskussion von Otto Hölders Überlegungen zu den Grundlagen der Mathematik unter besonderer Berücksichtigung eines Aufsatzes von 1892. Hölder schrieb diesen Aufsatz als Reaktion auf ein Buch von R. Graßmann, welches 1891 erschien. Hölders Ansicht nach kann dieses Buch als Versuch die Arithmetik zu axiomatisieren, betrachtet werden. Hölders Aufsatz ist aus mindestens drei Gründen von Bedeutung. Erstens kann man ihn als eine Art höldersches Forschungsmanifest zu den Grundlagen der Mathematik betrachten: Er enthält eine Fülle von Ideen über die Grundlagen der Mathematik, welche Hölder Schritt für Schritt bis zum Ende seines Lebens ausgearbeitet hat. Zweitens, Hölders Auseinandersetzung mit R. Graßmann verleitete Hölder dazu, eine genaue Analyse der Beiträge Hermann und Robert Graßmanns zur Axiomatisierung der Arithmetik zu unternehmen. Hölders Analyse ist deshalb ein bedeutender historischer Beitrag zur Untersuchung der Gedankengänge der Graßmann-Brüder zu den Grundlagen der Mathematik, welche, obgleich oft erwähnt, nicht genügend Anerkennung gefunden haben und bis heute nicht hinreichend verstanden sind. Drittens, Hölders Untersuchung von R. Graßmanns Gedankengängen führen ihn zu einer Formulierung der Hauptprobleme, welche jede formale Axiomatik lösen muß: Unabhängigkeit der Axiome, Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit sowie die Klärung des Verhältnisses zwischen einer formalen Theorie und ihrer Anwendungen. Der erste Teil meiner Untersuchung bietet eine Darstellung der Gedanken R. Graßmanns zu den Grundlagen der Mathematik, wie diese in zwei eng verwandten Werken von 1872 und 1891 formuliert wurden. Der zweite Teil beschäftigt sich mit Hölders Untersuchung dieser Ideen." @default.
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