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• W2133670222 abstract "We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms.Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the price of connectivity of defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system./Nous presentons un ensemble de resultats d'approximation pour plusieurs problemes de couverture dans les graphes denses. Ces resultats montrent que pour plusieurs problemes, des algorithmes classiques a facteur d'approximation constant peuvent etre analyses de maniere plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densite. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problemes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inferieur a 2 quand la proportion d'aretes presentes dans le graphe (densite faible) est superieure a 3/4 ou quand le degre minimum normalise (densite forte) est superieur a 1/2. Nous montrons egalement que ce resultat peut etre ameliore par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inferieur a 2 pour des densites faibles superieures a 1/2. Nous donnons egalement des familles de graphes extremaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite interesses a plusieurs algorithmes de la litterature pour les problemes VC et SET COVER (SC). Nous avons presente une approche unifiee et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schema general dans lequel s'integrent ces algorithmes.Nous nous sommes finalement interesses au probleme CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons propose de nouveaux resultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces resultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les memes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC a l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons egalement des familles de graphes extremaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons egalement etudie un nouvel invariant, le cout de connectivite de VC, defini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montre une borne superieure sur sa valeur en fonction de la densite faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et presente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au developpement du logiciel." @default.
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