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• W2169078574 abstract "E um fato bem conhecido que o funtor grupo fundamental π1 : Espacos pontuados → Grupos e o funtor espaco de classificacao B : Grupos → Espacos pontuados induzem uma equivalencia entre a categoria homotopica dos 1-tipos homotopicos e a categoria dos grupos. E nesse sentido que podemos dizer que os grupos modelam os 1-tipos homotopicos. No trabalho de Whitehead [8, 9, 10] ele observou que dada uma fibracao F → U → X temos um homomorfismo ∂ : π1(F ) → π1(U) e uma acao de π1(U) em π1(F ) tal que ∂(f) = u∂(f)u−1 e ff ′f−1 = f ′. Ele denotou por modulo cruzado qualquer homomorfismo de grupos com uma acao do contradominio no dominio que satisfaz as equacoes acima e notou que existe um funtor espaco de classificacao que associa um 2-tipo homotopico a cada modulo cruzado. Ele tambem definiu um conceito de quasi-isomorfismo entre modulos cruzados, e junto de MacLane [7] provou que a localizacao da categoria dos modulos cruzados obtida invertendo quasi-isomorfismos e equivalente a categoria homotopica dos 2-tipos homotopicos. A chave para generalizar o trabalho de Whitehead para dimensoes arbitrarias e a observacao que a categoria dos modulos cruzados e equivalente a categoria das categorias internas aos grupos, ou seja os cat-grupos. A partir dessa observacao Loday [6] demonstrou, utilizando uma generalizacao de fibracoes denotada por n-cubos de fibracoes, que a categoria homotopica dos (n+ 1)-tipos homotopicos e equivalente a uma certa localizacao da categoria das n-categorias internas aos grupos, denotados por cat-grupos. Um resultado importante obtido por Brown e Loday [2] foi que o funtor cat-grupo fundamental Π que nos da a equivalencia mencionada satisfaz uma generalizacao do teorema de Seifert-van Kampen, ou seja ele preserva certos colimites. Esse teorema sugere que deve ser possivel computar o cat-grupo fundamental de espacos usando metodos analogos aos metodos de computar o grupo fundamental. Dado esse teorema vemos que e util saber como computar colimites na categoria dos cat-grupos. Para tal e mais conveniente trabalhar na categoria dos n-cubos cruzados de grupos, que Ellis e Steiner [5] provaram ser equivalente a categoria dos cat-grupos, aonde certos colimites possuem uma apresentacao mais natural. A palestra pretende ser um survey desses resultados, incluindo algumas aplicacoes encontradas na literatura. Definiremos os n-cubos cruzados de grupos e os cat-grupos, alem de apresentarmos como essas categorias sao equivalentes. Tambemmostraremos como obter colimites de certos diagramas de n-cubos cruzados de grupos. Definiremos a categoria dos n-cubos de fibracoes e comentaremos a relacao dela com a categoria dos (n + 1)-tipos homotopicos. Definiremos o funtor catn-grupo fundamental Π : n-cubo de fibracoes → Cat-grupos e o funtor espaco de classificacao B : Cat-grupos → espacos pontuados e veremos como eles formam uma equivalencia entre os (n+ 1)-tipos homotopicos e os cat-grupos. Daremos tambem uma definicao do funtor n-cubo cruzado de grupos fundamental. Concluiremos mostrando como o teorema generalizado de Seifert-van Kampen foi usado por Brown, Loday e Elis [1, 3] para obter uma generalizacao da formula de Hopf para homologia de grupos e como Elis e Mikhailov [4] obtiveram uma descricao combinatoria dos grupos de homotopia da esfera S." @default.
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