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- W2521551834 abstract "Les fonctions euleriennes ont une situation particuliere : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions speciales, c’est‐a‐dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problemes provenant de la physique mathematique. Il parait donc necessaire d’etudier ces fonctions avant toutes les autres. Historiquement, la fonction gamma est nee de l’exigence de donner un sens a x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, acheve de donner un statut primordial a la fonction Γ. L’etude de celle‐ci fait intervenir des le debut les principes fondamentaux de la theorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales proprietes peut etre exposee de facon elementaire, sans cesser d’etre rigoureuse. Longtemps au nombre de trois, les suites de polynomes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynomes d’Hermite, les polynomes de Laguerre (a un parametre), les polynomes de Bessel (a un parametre) et les polynomes de Jacobi (a deux parametres). Les polynomes de Bessel ont tarde a obtenir le statut de polynomes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas definie positive pour aucune valeur du parametre. Algebriquement, une suite orthogonale est qualifiee de classique si la suite des derivees est aussi orthogonale. Avec cette definition, les polynomes de Bessel sont classiques. D’autres definitions sont possibles ; les plus importantes sont exposees ici. A l’etude basee sur le caractere hypergeometrique des polynomes classiques, on a prefere une exposition purement algebrique qui a le merite de relier les differentes caracterisations de maniere naturelle. Avec ce point de vue, les questions de representation des formes sont rejetees au second plan." @default.
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