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• W2998224733 abstract "Les travaux presentes dans cette these de doctorat relevent de la combinatoire algebrique et de la theorie des groupes. Precisement, ils apportent une contribution au domaine de recherche qui etudie le comportement des profils des groupes oligomorphes.La premiere partie de ce manuscrit introduit la plupart des outils qui nous seront necessaires, a commencer par des elements de combinatoire et combinatoire algebrique.Nous presentons les fonctions de comptage a travers quelques exemples classiques, et nous motivons l'addition d'une structure d'algebre graduee sur les objets enumeres dans le but d'etudier ces fonctions.Nous evoquons aussi les notions d'ordre et de treillis.Dans un second temps, nous donnons un apercu des definitions et proprietes de base associees aux groupes de permutations, ainsi que quelques resultats de theorie des invariants. Nous terminons cette partie par une description de la methode d'enumeration de Polya, qui permet de compter des objets sous une action de groupe.La deuxieme partie est consacree a l'introduction du domaine dans lequel s'inscrit cette these, celui de l'etude des profils de structures relationnelles, et en particulier des profils orbitaux. Si G est un groupe de permutations infini, son profil est la fonction de comptage qui envoie chaque entier n > 0 sur le nombre d'orbites de n-sous-ensembles, pour l'action induite de G sur les sous-ensembles finis d'elements.Cameron a conjecture que le profil de G est equivalent a un polynome des lors qu'il est borne par un polynome. Une autre conjecture, plus forte, a ete plus tard emise par Macpherson : elle implique une certaine structure d'algebre graduee sur les orbites de sous-ensembles, creee par Cameron et baptisee algebre des orbites, soutenant que si le profil est borne par un polynome, alors l'algebre des orbites est de type fini.Comme amorce de notre etude de ce probleme, nous developpons quelques exemples et faisons nos premiers pas vers une resolution en examinant les systemes de blocs des groupes de profil borne par un polynome --- que nous appelons P-oligomorphes ---,ainsi que la notion de sous-produit direct.La troisieme partie demontre une classification des groupes P-oligomorphes, notre resultat le plus important et dont la conjecture de Macpherson se revele un corollaire.Tout d'abord, nous etudions la combinatoire du treillis des systemes de blocs,qui conduit a l'identification d'un systeme generalise particulier, constituebde blocs ayant de bonnes proprietes. Nous abordons ensuite le cas particulier o`u il se limite a un seul bloc de blocs, pour lequel nous etablissons une classification. La preuve emprunte a la notion de sous-produit direct pour gerer les synchronisations internes au groupe, et a requis une part d'exploration informatique afin d'etre d'abord conjecturee.Dans le cas general, nous nous appuyons sur les resultats precedents et mettons en evidence la structure de G comme produit semi-direct impliquant son sous-groupe normal d'indice fini minimal et un groupe fini. Ceci permet de formaliser une classification complete des groupes P-oligomorphes,et d'en deduire la forme de l'algebre des orbites : (a peu de choses pres) une algebre d'invariants explicite d'un groupe fini. Les conjectures de Macpherson et de Cameron en decoulent, et plus generalement une comprehension exhaustive de ces groupes.L'annexe contient des extraits du code utilise pour mener la preuve a bien,ainsi qu'un apercu de celui qui a ete produit en s'appuyant sur la nouvelle classification, qui permet de manipuler les groupes P-oligomorphes en usant d'une algorithmique adaptee. Enfin, nous joignons ici notre premiere preuve, plus faible, des deux conjectures." @default.
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