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• W3043453674 abstract "We consider the following k-coupled nonlinear Schrödinger systems:{−Δuj+λjuj=μjuj3+∑i=1,i≠jkβi,jui2ujin RN,uj>0in RN,uj(x)→0as |x|→+∞,j=1,2,⋯,k, where N≤3, k≥3, λj,μj>0 are constants and βi,j=βj,i≠0 are parameters. There have been intensive studies for the above systems when k=2 or the systems are purely attractive (βi,j>0,∀i≠j) or purely repulsive (βi,j<0,∀i≠j); however very few results are available for k≥3 when the systems admit mixed couplings and the components are organized into groups, i.e., there exist (i1,j1) and (i2,j2) such that βi1,j1>0 and βi2,j2<0. In this paper we give the first systematic and an (almost) complete study on the existence of ground states when the systems admit mixed couplings and the components are organized into groups. We first divide these systems into repulsive-mixed and total-mixed cases. In the first case we prove nonexistence of ground states. In the second case we give a necessary condition for the existence of ground states and also provide estimates for Morse index. The key idea is the block decomposition of the systems (optimal block decompositions, eventual block decompositions), and the measure of total interaction forces between different blocks. Finally the assumptions on the existence of ground states are shown to be optimal in some special cases. Nous considérons les systèmes Schrödinger k-couplés non-linéaires ci-dessous :{−Δuj+λjuj=μjuj3+∑i=1,i≠jkβi,jui2ujin RN,uj>0in RN,uj(x)→0as |x|→+∞,j=1,2,⋯,k, où N≤3, k≥3, λj,μj>0 sont les constants et βi,j=βj,i≠0 les paramètres. Pour les systèmes ci-dessus, quand k=2 ou quand ils sont purement attractifs (βi,j>0,∀i≠j) ou répulsifs (βi,j<0,∀i≠j) ; un grand nombre d'études et de recherches sont déjà effectuées. Pourtant, il manque encore des résultats valables sur k≥3 quand les systèmes sont mixtes et couplants et que les composants sont organisés en de différentes parties, soit quand (i1,j1) et (i2,j2) font βi1,j1>0 et βi2,j2<0. Dans le présent article, nous allons prendre l'initiave de faire une étude systématique et quasi complète sur l'existence de états fondamentaux. Nous allons d'abord diviser les systèmes en deux catégories : des systèmes mixtes-replusifs et des systèmes mixtes-totaux. Pour les systèmes mixtes-replusifs, nous avons prouvé leur non-existence. Et pour les systèmes mixtes-totaux, nons avons donné une condition nécesseaire de l'existence de états fondamentaux et nous avons fait également des estimations de l'index Morse. Notre idée-clé consite dans la décomposition des blocs de systèmes (décompositions des blocs optimaux, décompositions des blocs éventuels) et dans le calcul du total des forces interactionnelles entre différents blocs. Enfin, nous avons prouvé que dans certains cas particuliers, nos présomptions données sur l'existence de états fondamentaux sont les plus optimaux." @default.
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