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• W3095692542 abstract "In 1970 J.J. Schäffer proved that for any invertible n×n matrix T and for any operator norm ||⋅||, the inequality|det⁡T|||T−1||≤S||T||n−1 holds with S=S(n)≤en. He conjectured that in fact this inequality holds with an S independent of n. This conjecture was refuted in the early 90's by E. Gluskin, M. Meyer and A. Pajor who have shown that for certain T=T(n) the inequality can only hold when S is growing with n. Subsequent contributions of J. Bourgain and H. Queffélec provided increasing lower estimates on S. Those results rely on probabilistic and number theoretic arguments for the existence of sequences T(n) with growing S. Constructive counterexamples to Schäffer's conjecture were not available since 1995. In this article we propose a new and entirely constructive approach to Schäffer's conjecture. As a result, we present an explicit sequence of Toeplitz matrices Tλ with singleton spectrum {λ}⊂D∖{0} such that S≥c(λ)n. J.J. Schäffer a prouvé en 1970 que pour toute matrice n×n inversible T et pour toute norme matricielle subordonnée ||⋅||, l'inégalité|det⁡T|||T−1||≤S||T||n−1 est satisfaite avec S=S(n)≤en. Il a conjecturé que cette inégalité est en fait vraie avec un S indépendant de n. Cette conjecture a été réfutée au début des années 90 par E. Gluskin, M. Meyer et A. Pajor qui ont démontré que pour certaines matrices T=T(n), cette inégalité ne peut être vraie qu'avec un S qui croît avec n. Des contributions ultérieures de J. Bourgain et H. Queffélec ont successivement amélioré les minorations correspondantes de S. Ces derniers résultats s'appuyent respectivement sur un argument probabiliste et sur un argument issu de la théorie analytique des nombres pour montrer l'existence d'une suite T=T(n) générant un S croissant. De constructifs contre-exemples réfutant la conjecture de Schäffer demeuraient indisponibles depuis 1995. Dans cet article nous proposons une approche nouvelle et entièrement constructive de la conjecture de Schäffer. En conséquence, nous présentons une suite explicite de matrices n×n de Toeplitz de spectre réduit à un point, fixe et arbitraire {λ}⊂D−{0}, telle que S≥c(λ)n." @default.
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