FRINK Linked Data Fragments server

Matches in SemOpenAlex for { <https://semopenalex.org/work/W3100684467> ?p ?o ?g. }

• W3100684467 abstract "Abstract In the recent paper Bürgisser and Lerario (Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles J), 2016) introduced a geometric framework for a probabilistic study of real Schubert Problems. They denoted by $$delta _{k,n}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> the average number of projective k -planes in $${mathbb {R}}mathrm {P}^n$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> that intersect $$(k+1)(n-k)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> many random, independent and uniformly distributed linear projective subspaces of dimension $$n-k-1$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . They called $$delta _{k,n}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> the expected degree of the real Grassmannian $${mathbb {G}}(k,n)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and, in the case $$k=1$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , they proved that: $$begin{aligned} delta _{1,n}= frac{8}{3pi ^{5/2}} cdot left( frac{pi ^2}{4}right) ^n cdot n^{-1/2} left( 1+{mathcal {O}}left( n^{-1}right) right) . end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> Here we generalize this result and prove that for every fixed integer $$k>0$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and as $$nrightarrow infty $$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we have $$begin{aligned} delta _{k,n}=a_k cdot left( b_kright) ^ncdot n^{-frac{k(k+1)}{4}}left( 1+{mathcal {O}}(n^{-1})right) end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$a_k$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$b_k$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are some (explicit) constants, and $$a_k$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> involves an interesting integral over the space of polynomials that have all real roots. For instance: $$begin{aligned} delta _{2,n}= frac{9sqrt{3}}{2048sqrt{2pi }} cdot 8^n cdot n^{-3/2} left( 1+{mathcal {O}}left( n^{-1}right) right) . end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2048</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> Moreover we prove that these numbers belong to the ring of periods intoduced by Kontsevich and Zagier and give an explicit formula for $$delta _{1,n}$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> involving a one-dimensional integral of certain combination of Elliptic functions." @default.
• W3100684467 created "2020-11-23" @default.
• W3100684467 creator A5005178662 @default.
• W3100684467 creator A5070135042 @default.
• W3100684467 date "2020-09-18" @default.
• W3100684467 modified "2023-10-08" @default.
• W3100684467 title "Probabilistic Schubert Calculus: Asymptotics" @default.
• W3100684467 cites W1571966798 @default.
• W3100684467 cites W1968071935 @default.
• W3100684467 cites W1999334273 @default.
• W3100684467 cites W2051783828 @default.
• W3100684467 cites W2963558003 @default.
• W3100684467 cites W3104548807 @default.
• W3100684467 cites W4242941774 @default.
• W3100684467 cites W4251659063 @default.
• W3100684467 doi "https://doi.org/10.1007/s40598-020-00160-w" @default.
• W3100684467 hasPublicationYear "2020" @default.
• W3100684467 type Work @default.
• W3100684467 sameAs 3100684467 @default.
• W3100684467 citedByCount "1" @default.
• W3100684467 countsByYear W31006844672020 @default.
• W3100684467 crossrefType "journal-article" @default.
• W3100684467 hasAuthorship W3100684467A5005178662 @default.
• W3100684467 hasAuthorship W3100684467A5070135042 @default.
• W3100684467 hasBestOaLocation W31006844671 @default.
• W3100684467 hasConcept C11413529 @default.
• W3100684467 hasConcept C154945302 @default.
• W3100684467 hasConcept C41008148 @default.
• W3100684467 hasConceptScore W3100684467C11413529 @default.
• W3100684467 hasConceptScore W3100684467C154945302 @default.
• W3100684467 hasConceptScore W3100684467C41008148 @default.
• W3100684467 hasLocation W31006844671 @default.
• W3100684467 hasLocation W31006844672 @default.
• W3100684467 hasOpenAccess W3100684467 @default.
• W3100684467 hasPrimaryLocation W31006844671 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W19875155 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W26399305 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W2955505 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W4483727 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W4521549 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W48073001 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W54143233 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W58680908 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W5878258 @default.
• W3100684467 hasRelatedWork W8268346 @default.
• W3100684467 isParatext "false" @default.
• W3100684467 isRetracted "false" @default.
• W3100684467 magId "3100684467" @default.
• W3100684467 workType "article" @default.