FRINK Linked Data Fragments server

Matches in SemOpenAlex for { <https://semopenalex.org/work/W3207418640> ?p ?o ?g. }

• W3207418640 abstract "Abstract Let $$I_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$K_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be the first and second kind modified Bessel functions. It is shown that the nullclines of the Riccati equation satisfied by $$x^{alpha } Phi _{i,nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$i=1,2$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , with $$Phi _{1,nu }=I_{nu -1}(x)/I_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$Phi _{2,nu }(x)=-K_{nu -1}(x)/K_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , are bounds for $$x^{alpha } Phi _{i,nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , which are solutions with unique monotonicity properties; these bounds hold at least for $$pm alpha notin (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$nu ge 1/2$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Properties for the product $$P_{nu }(x)=I_{nu }(x)K_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> can be obtained as a consequence; for instance, it is shown that $$P_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is decreasing if $$nu ge -1$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> (extending the known range of this result) and that $$xP_{nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is increasing for $$nu ge 1/2$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We also show that the double ratios $$W_{i,nu }(x)=Phi _{i,nu +1}(x)/Phi _{i,nu }(x)$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are monotonic and that these monotonicity properties are exclusive of the first and second kind modified Bessel functions. Sharp trigonometric bounds can be extracted from the monotonicity of the double ratios. The trigonometric bounds for the ratios and the product are very accurate as $$xrightarrow 0^+$$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$xrightarrow +infty $$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$nu rightarrow +infty $$ <mml:math xmlns:mml=http://www.w3.org/1998/Math/MathML> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in the sense that the first two terms in the power series expansions in these limits are exact." @default.
• W3207418640 created "2021-10-25" @default.
• W3207418640 creator A5056606462 @default.
• W3207418640 date "2021-10-16" @default.
• W3207418640 modified "2023-10-03" @default.
• W3207418640 title "Monotonicity Properties for Ratios and Products of Modified Bessel Functions and Sharp Trigonometric Bounds" @default.
• W3207418640 cites W2025156396 @default.
• W3207418640 cites W2055017467 @default.
• W3207418640 cites W2063767439 @default.
• W3207418640 cites W2065677376 @default.
• W3207418640 cites W2071511936 @default.
• W3207418640 cites W2077144549 @default.
• W3207418640 cites W2090696688 @default.
• W3207418640 cites W2258103226 @default.
• W3207418640 cites W2471258147 @default.
• W3207418640 cites W2547258922 @default.
• W3207418640 cites W2612291478 @default.
• W3207418640 cites W2774645040 @default.
• W3207418640 cites W2964003575 @default.
• W3207418640 cites W2982157847 @default.
• W3207418640 cites W3171406817 @default.
• W3207418640 doi "https://doi.org/10.1007/s00025-021-01531-1" @default.
• W3207418640 hasPublicationYear "2021" @default.
• W3207418640 type Work @default.
• W3207418640 sameAs 3207418640 @default.
• W3207418640 citedByCount "2" @default.
• W3207418640 countsByYear W32074186402022 @default.
• W3207418640 countsByYear W32074186402023 @default.
• W3207418640 crossrefType "journal-article" @default.
• W3207418640 hasAuthorship W3207418640A5056606462 @default.
• W3207418640 hasBestOaLocation W32074186401 @default.
• W3207418640 hasConcept C11413529 @default.
• W3207418640 hasConcept C41008148 @default.
• W3207418640 hasConceptScore W3207418640C11413529 @default.
• W3207418640 hasConceptScore W3207418640C41008148 @default.
• W3207418640 hasFunder F4320315062 @default.
• W3207418640 hasIssue "4" @default.
• W3207418640 hasLocation W32074186401 @default.
• W3207418640 hasLocation W32074186402 @default.
• W3207418640 hasLocation W32074186403 @default.
• W3207418640 hasOpenAccess W3207418640 @default.
• W3207418640 hasPrimaryLocation W32074186401 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2051487156 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2052122378 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2053286651 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2073681303 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2317200988 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2544423928 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2947381795 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2181413294 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2181743346 @default.
• W3207418640 hasRelatedWork W2187401768 @default.
• W3207418640 hasVolume "76" @default.
• W3207418640 isParatext "false" @default.
• W3207418640 isRetracted "false" @default.
• W3207418640 magId "3207418640" @default.
• W3207418640 workType "article" @default.