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• W569883804 abstract "Die Molekuldynamik-Simulation ist ein aktuelles Forschungsgebiet, das in den letzten Jahren standig an Bedeutung gewonnen hat. Die klassische Molekuldynamik ist momentan die wichtigste Moglichkeit uber das dynamische Verhalten groser Molekule Erkenntnisse zu gewinnen. Die Herausforderungen auf diesem Gebiet sind dabei nicht gering. Die Molekuldynamik-Simulationen umfassen mehrere Zeitskalen, die von einer Femtosekunde bis zu Minuten bei der Faltung groser Molekule reichen und in derselben Simulation auftreten. Haufig sind erst Zeitskalen im Bereich von Pikosekunden fur die Interpretation der Daten interessant, und es wurde genugen, die Losung auf einem Gitter dieser Grose zu kennen. Im mathematischen Modell spiegelt sich dieser Umstand dadurch wieder, dass die Losung hochfrequente Losungskomponenten mit kleiner Amplitude besitzt, wobei die Losung haufig nur auf einem Gitter mit einer Zeitschrittweite h gesucht wird, fur die h multipliziert mit der hochsten im System auftretenden Frequenz viel groser als 1 ist. Differentialgleichungen diesen Typs werden oszillatorische Differentialgleichungen genannt. Wegen ihrer Bedeutung nicht nur in der Molekuldynamik sind oszillatorische Differentialgleichungen in den letzten Jahren zunehmend ins Zentrum des Interesses geruckt. Das Standard-Verfahren zur numerischen Integration dieser Differentialgleichungen ist das Verlet-Schema. Dieses Verfahren ist einfach zu implementieren, funktioniert bei kleiner Schrittweite sehr gut, benotigt aber viel zu viele Schritte, um oszillatorische Differentialgleichungen uber langere Zeitintervalle numerisch effizient losen zu konnen. Das liegt daran, dass die hohen Frequenzen bei der numerischen Integration einer oszillatorischen Differentialgleichung von dem Verlet-Schema vollstandig aufgelost werden mussen, damit das Verfahren eine korrekte Losung liefert. Dasselbe Verhalten zeigen alle bekannten Verfahren wie explizite und implizite Runge-Kutta-Verfahren sowie Mehrschrittverfahren. Mit diesen Verfahren konnen viele Phanomene, die auf groberen Zeitskalen ablaufen, obwohl auf diesem Gebiet Rechenzeiten in der Grosenordnung von Monaten nicht unublich sind, nicht beobachtet werden. Wunschenswert sind numerische Integrationsverfahren (sog. Integratoren), die der Schrittweiteneinschrankung nicht unterliegen und damit weniger rechenaufwandig sind. In den letzten funf Jahren wurden Lange-Zeitschritt-Integratoren entwickelt. Damit werden Verfahren bezeichnet, die Fehlerabschatzungen unabhangig von der Glattheit der Losung zulassen und die die Losung auf einem Gitter mit Zeitschrittweite h, wobei h multipliziert mit der hochsten im System auftretenden Frequenz viel groser 1 ist, berechnen konnen. Als einzige Voraussetzung wird dabei gefordert, dass das System beschrankte Energie hat, eine physikalisch plausible Bedingung. Ahnlich wie bei der Theorie zur numerischen Integration steifer Systeme, erfordert auch die Analyse von Verfahren fur oszillatorische Probleme vollig neue mathematische Techniken. Die Ursache hierfur liegt in der nichtglatten exakten Losung der Differentialgleichung, die die Verwendung der Taylorentwicklung derselben unmoglich macht. Diese neuen Techniken geben gleichzeitig Aufschluss uber die Konstruktion neuer Lange-Zeitschritt-Integratoren. Bisher sind Lange-Zeitschritt-Integratoren nur fur Differentialgleichungen bekannt, bei denen die hohen Frequenzen aus einem zeitunabhangigen linearen Anteil resultieren. Diese Integratoren erfordern die Berechnung des Produkts einer analytischen Funktion ausgewertet an einer mit der Zeitschrittweite skalierten symmetrischen Matrix mit einem Vektor. Diese konnen zum Beispiel mit Krylov-Unterraumverfahren approximiert werden. Da die auftretende analytische Funktion mit Hilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden kann, wurd auch von exponentiellen Integratoren gesprochen. Ziel dieser Arbeit ist es, Lange-Zeitschritt-Verfahren fur eine allgemeinere Klasse von oszillatorischen Problemen zu konstruieren und zu analysieren, denn in den Problemen aus der Molekuldynamik erweist sich die oben genannte Einschrankung auf zeitunabhangige lineare Anteile als zu strikt. Es soll jedoch weiterhin nur die physikalisch sinnvolle Voraussetzung der beschrankten Energie gefordert werden, so dass die Ergebnisse auch praktisch relevant sind." @default.
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