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- W654124414 abstract "Le calcul de l'infimum global $f^*$ d'un polynome a $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparait dans de nombreux domaines des sciences de l'ingenieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des resultats fiables. De nombreuses techniques ont ete developpees dans le cas ou les contraintes sont donnees par des inequations polynomiales. Dans cette these, on se concentre sur le probleme d'optimisation d'un polynome a $n$ variables sous des contraintes definies par des equations polynomiales a $n$ variables. Notre but est d'obtenir des outils, algorithmes et implementations efficaces et fiables pour resoudre ces problemes d'optimisation. Notre strategie est de ramener le probleme d'optimisation sous des contraintes qui definissent des ensembles algebriques de dimension quelconque a un probleme equivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maitrise la dimension. La variete algebrique definie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynome objectif et d'un ensemble algebrique de dimension au plus 1. Pour cela, on utilise des objets geometriques definis comme lieux critiques de projections lineaires. Grâce au bon controle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inferieures sur $f^*$ sur nos nouvelles varietes. Ces certificats sont donnes par des sommes de carres et on ne suppose pas que $f^*$ est atteint. De meme, on utilise les proprietes de nos objets geometriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^*$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un probleme avec $s$ contraintes et des polynomes de degres au plus $D$, la complexite est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et lineaire en la complexite d'evaluation des entrees. L'implantation, disponible sous forme de bibliotheque Maple, reflete cette complexite. Elle a permis de resoudre des problemes inatteignables par les autres algorithmes exacts." @default.
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