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• W91081340 abstract "La resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales figura entre los problemas mas importantes, tanto desde un punto de vista teorico como practico, de las matematicas aplicadas, asi como tambien de muchas ramas de las ciencias, la ingenieria, la fisica, la informatica, la astronomia, las finanzas,.... Un vistazo a la bibliografia y la lista de grandes matematicos que han trabajado en este tema pone de manifiesto un alto nivel de interes contemporaneo en el mismo. Aunque el rapido desarrollo de las computadoras digitales llevo a la aplicacion efectiva de muchos metodos numericos, en la realizacion practica, es necesario analizar diferentes problemas tales como la eficiencia computacional basado en el tiempo usado por el procesador, el diseno de metodos iterativos que posean una rapida convergencia a la solucion deseada, el control de errores de redondeo, la informacion sobre las cotas de error de la solucion aproximada obtenida, las condiciones iniciales que garanticen una convergencia segura, etc. Dichos problemas constituyen el punto de partida de este trabajo. El objetivo general de esta memoria es disenar metodos iterativos eficientes para resolver una ecuacion o un sistema de ecuaciones no lineales. El esquema mas conocido para resolver ecuaciones no lineales es el metodo de Newton, su generalizacion a sistemas de ecuaciones fue propuesta por Ostrowski.. En los ultimos anos, como muestra la amplia bibliografia, ha aumentado de manera considerable la construccion de metodos iterativos, tanto de un paso como multipaso, con el fin de conseguir una convergencia de orden optimo asi como una mejor eficiencia computacional. En general, en esta memoria hemos utilizado la tecnica de funciones peso para disenar metodos de resolucion de ecuaciones y sistemas, tanto libres de derivadas como apareciendo estas en su expresion iterativa. En el Capitulo 2 introducimos los conceptos previos que sustentan el desarrollo de los distintos temas. Entre ellos, cabe destacar los relacionados con los metodos iterativos de resolucion de problemas no lineales, en una y varias variables; el concepto de metodo optimo (basado en la conjetura de Kung y Traub); las tecnicas de demostracion empleadas para probar el orden de convergencia local, asi como tambien el operador diferencias divididas [x,y;F], y los conceptos basicos de la dinamica compleja de funciones racionales que utilizaremos para analizar el comportamiento dinamico del operador asociado a cualquier metodo iterativo. En los Capitulos 3 y 4 hemos desarrollado metodos iterativos optimos de ordenes 4 y 8, con y sin derivadas, para la resolucion de ecuaciones no lineales. En ambos capitulos comenzamos refiriendonos al estado del arte, para mostrar a continuacion los nuevos metodos disenados, que incluyen familias conocidas pero tambien nuevos esquemas iterativos, posteriormente continuamos con el analisis de la convergencia de dichas clases de metodos, estableciendo algunos casos particulares, que son analizados en detalle y finalizamos con las pruebas numericas relacionadas con los esquemas iterativos propuestos. Especificamente, en el Capitulo 3, se presentan los resultados obtenidos al modificar el metodo clasico de Gauss para la determinacion de orbitas preliminares, de manera que incluya en su proceso esquemas iterativos de alto orden de convergencia. Por su parte, en el Capitulo 4 se muestran las propiedades dinamicas de algunos de los esquemas iterativos disenados de orden 8, asi como sus propiedades de estabilidad que son verificadas sobre diferentes funciones test. En el Capitulo 5, presentamos metodos iterativos optimos de alto orden, con operador derivada, para resolver ecuaciones no lineales. Tras el diseno de estos metodos y el analisis de su convergencia, se transforma dicha clase de esquemas iterativos en otra libre de derivadas, manteniendo su optimalidad. Finalmente, se muestran los resultados de algunas pruebas numericas, que incluyen la determinacion de orbitas preliminares de satelites. El comportamiento dinamico del operador asociado a un metodo iterativo al ser aplicado sobre la funcion no lineal a resolver nos proporciona importante informacion acerca de la estabilidad y fiabilidad de este. El analisis dinamico de un metodo iterativo se centra en el estudio del comportamiento asintotico de los puntos fijos (raices, o no, de la ecuacion) del operador, asi como en las cuencas de atraccion asociadas a los mismos. En el caso de familias parametricas de metodos iterativos, el analisis de los puntos criticos libres nos permite seleccionar los miembros mas estables de dichas familias. El analisis de la dinamica compleja de los metodos disenados para ecuaciones no lineales se lleva a cabo en el Capitulo 6, donde nos centramos en una de las familias de metodos optimos presentada en capitulos anteriores. Asi, una vez establecido el teorema del escalado, analizamos el comportamiento del operador racional asociado al metodo actuando sobre polinomios cuadraticos, calculando sus puntos fijos y criticos y analizando su estabilidad. Mostramos los planos de parametros de los diferentes puntos criticos libres y estudiamos algunos casos particulares mediante planos dinamicos concretos en los que significamos algunas cuencas de atraccion que no corresponden a las raices. A continuacion, en el Capitulo 7 se extienden a sistemas las tecnicas iterativas disenadas en el caso escalar, si bien ahora utilizamos funciones peso matriciales. Asi construimos metodos de cualquier orden anadiendo sucesivos pasos con la misma estructura. Finalmente, se utiliza el operador diferencias divididas para extender al caso multivariable algunos esquemas iterativos que, a priori, no pueden ser extendidos de forma directa. Todos estos metodos forman parte del estudio numerico que se presenta al final del capitulo, en el que se confirman los resultados teoricos. Esta memoria termina con un capitulo dedicado a problemas abiertos y a lineas futuras de trabajo. Algunos de estos problemas han surgido como consecuencia de los avances obtenidos." @default.
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