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- W974042006 abstract "Es sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, G eine offene Menge in M und A ein elliptischer Differential-operator in <m:math display='block'> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mtext>C</m:mtext> <m:mtext>O</m:mtext> <m:mi>∞</m:mi> </m:msubsup> <m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mtext>G</m:mtext> <m:mo>)</m:mo></m:mrow> </m:mrow> </m:math> ${text{C}}_{text{O}}^infty left( {text{G}} right)$ , der in L2(Ḡ) eine halbbeschränkte selbst-adjungierte Erweiterung Ā mit der Spektralschar Et besitzt. Dabei wird vorausgesetzt, daß auf M ein Maß m gegeben ist, das zum Lebesgueschen Maß äquivalent ist und bezüglich diesem eine glatte Dichte besitzt; dies bedeutet genauer gesagt, daß für jeden Punkt m ϵ M und jeden Diffeomorphismus g: <m:math display='block'> <m:mrow> <m:msub> <m:mtext>U</m:mtext> <m:mtext>m</m:mtext> </m:msub> <m:mover accent='true'> <m:mo>→</m:mo> <m:mo>˜</m:mo> </m:mover> <m:msup> <m:mrow> <m:mtext>BcR</m:mtext> </m:mrow> <m:mtext>n</m:mtext> </m:msup> </m:mrow> </m:math> ${text{U}}_{text{m}} tilde to {text{BcR}}^{text{n}} $ einer Umgebung dieses Punktes auf die Einheitskugel B des Rn das durch die Beziehung (g*m)(e) = m(g−1 (e)), e⊂B, definierte Maß g*m in der Form <m:math display='block'> <m:mrow> <m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mtext>g*m</m:mtext> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mtext>e</m:mtext> <m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mstyle displaystyle='true'> <m:mrow> <m:msub> <m:mo>∫</m:mo> <m:mtext>e</m:mtext> </m:msub> <m:mrow> <m:mtext>a</m:mtext><m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mtext>x</m:mtext> <m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mtext>dx</m:mtext> </m:mrow> </m:mrow> </m:mstyle> </m:mrow> </m:math> $$left( {{text{g*m}}} right)left( {text{e}} right) = int_{text{e}} {{text{a}}left( {text{x}} right){text{dx}}} $$ darstellbar ist, wobei dx das Lebesguesche Maß im Rn und a(x) eine in einer Umgebung von B unendlich oft differenzierbare Punktion ohne Nullstellen ist. Sogar wenn der Operator Et in Lp(G), P ≠ 2, unbeschränkt ist, kann man für jedes Kompaktum K⊂G und beliebiges endliches t den beschränkten Operator QKEtQK (“Blockoperator”) betrachten. Die Frage, ob für jede Funktion f aus Lp(G) mit dem Träger supp f⊂K die Spektralentwicklung Et f, t→∞, auf K in der Metrik von Lp(K) gegen f konvergiert, ist äquivalent zu der Frage, ob die Operatoren QKEtQK in t gleichmäßig beschränkt sind." @default.
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